C02_P1 : Modélisation et analyse temporelle des SLCI

Cours

Système du second ordre

Fondamental :

Un système physique d'entrée e(t) et de sortie s(t) est du 2^ème ordre, s'il est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants du type :

Si les conditions initiales sont nulles ( et ), la fonction de transfert sous forme canonique s'écrit:

Le discriminant du dénominateur vaut :

Donc les pôles de la fonction de transfert (=racines du dénominateur) dépendent de la valeur du coefficient d'amortissement . Trois cas sont à envisager :

Valeur de	Expression des pôles
Régime apériodique (système amorti)	2 pôles réels :
Régime apériodique critique (amortissement critique)	1 pôle double :
Régime pseudo-périodique (système sous-amorti ou oscillant)	2 pôles complexes conjugués (à partie réelle négative) , avec

Valeur de

Expression des pôles

Régime apériodique

(système amorti)

2 pôles réels :

Régime apériodique critique

(amortissement critique)

1 pôle double :

Régime pseudo-périodique

(système sous-amorti ou oscillant)

2 pôles complexes conjugués (à partie réelle négative)

, avec

Réponse indicielle

L'entrée est définie par un échelon d'amplitude :

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

Pour déterminer la réponse temporelle il faut décomposer la fraction rationnelle ci-dessus en éléments simples. Or cette décomposition diffère selon la valeur des pôles de la fonction de transfert.

On distingue donc 3 régimes de fonctionnement correspondant à des pôles réels, complexes ou à un pôle double. Toutefois, certaines caractéristiques sont communes à ces 3 régimes de fonctionnement. Elles sont données ci-après.

Caractéristiques communes à tous les régimes de fonctionnement

Valeur finale : ordonnée en :

$s(+\infty)= \underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \, s(t) =\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.S(p)}_{\text{Théorème de la valeur finale}}=\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.\frac{K.E_0.\omega_0^2}{(p^2+2.\xi.\omega_0.p+\omega_0^2).p}=K.E_0$

Tangente à l'origine :

$s'(0^+)= \underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow 0^+ } \, s'(t) =\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p.\left[p.S(p)\right]}_{\text{Théorème de la valeur initiale}}=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p^2.\frac{K.E_0.\omega_0^2}{(p^2+2.\xi.\omega_0.p+\omega_0^2).p}=0$

Erreur statique:

$\varepsilon_S= \varepsilon(+\infty)= \lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \left[ \, e(t)-s(t) \, \right] =\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } p.\left[ \, \frac {E_0} p - \frac K {1+\frac{2\xi}{\omega_0}.p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}.\frac{E_0}p \, \right] =E_0.(1-K)$

Remarque :

Le régime permanent ne dépend que du gain et de l'amplitude de l'échelon d'entrée . Il ne dépend ni du coefficient d'amortissement ni de la pulsation propre.
La tangente à l'origine est horizontale, ce qui diffère de la réponse indicielle des systèmes du premier ordre.

Régime apériodique (système amorti) : ξ>1

Si , la fonction de transfert possède deux pôles réels et tels que :

La décomposition en éléments simples s'écrit alors :

avec

Ainsi,

En utilisant la transformée de Laplace inverse, on trouve :

Enfin, posant et , et en en utilisant le fait que , on trouve :

$\boxed{\quad s(t)=K.E_0.\left[1-\frac 1 {\tau_1-\tau_2}.\left( \tau_1. \text e^{-\frac t {\tau_1}}-\tau_2. \text e^{-\frac t {\tau_2}}\right) \right].u(t)\quad }$

Complément : Notion de pôle dominant

Dans le cas , la fonction de transfert admet donc deux racines réelles et peut également s'écrire, en utilisant la forme suivante :

$H(p)=\frac K {(1+\tau_1.p)(1+\tau_2.p)}\quad \text{ , avec : } \tau_1=-\frac 1 {p_1} \text{ et }\tau_2=-\frac 1 {p_2}$

Dans le cas où , il est possible de négliger le terme devant et d'approcher la fonction de transfert par celle d'un premier ordre.

$H(p) \approx \frac K {1+\tau_2.p}$

Le pôle correspond dans ce cas au pôle dominant de la FTBF (celui correspondant à la plus grande constante de temps).

Régime apériodique critique (amortissement critique) : ξ=1

La fonction de transfert admet dans ce cas un pôle double :

La décomposition en éléments simples s'écrit alors :

avec

La transformée de Laplace inverse donne :

La forme de cette réponse est proche de la précédente mais sa rapidité ( ) est meilleure. Le régime apériodique critique donne la réponse la plus rapide sans dépassement de la valeur finale.

Régime pseudo-périodique (système sous-amorti) : ξ<1

Si , la fonction de transfert possède deux pôles complexes conjugués et tels que :

La sortie dans le domaine de Laplace s'écrit :

On peut alors utiliser directement le "tableau" des transformées de Laplace pour déterminer la transformée inverse et obtenir l'expression de la sortie dans le domaine temporel s(t) :

Pseudo-période :

La réponse présente des oscillations amorties dont la période, appelée pseudo-période, est :

$\boxed{T_a=\frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-\xi^2}}=\frac{2\pi}{\omega_a}} \quad , \omega_a=\omega_0.\sqrt{1-\xi^2} \text{ : pulsation propre du système amorti}$

Dépassements :

Les dépassements d’amplitude apparaissent aux instants :

Les dépassements relatifs se calculent :

On peut remarquer que les dépassements relatifs ne dépendent que du coefficient d'amortissement.

Conseil : A savoir redémontrer rapidement ou à apprendre :

$\forall \xi\in ]0,1[, \, \forall k\in \mathbb N^*\quad D_{r,k}=\text e ^{-k\frac {\xi.\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}} \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{\xi=\sqrt{\frac {(\ln D_{r,k})^2}{(k.\pi)^2+(\ln D_{r,k})^2}}}$

Temps de réponse à 5% :

Il n'existe pas de formule simple pour calculer le temps de réponse à 5% car il dépend de la valeur du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre non amortie du système .