C02_P1 : Modélisation et analyse temporelle des SLCI

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Système du premier ordre

Fondamental

Un système physique d'entrée et de sortie est du 1er ordre, s'il est régi par une équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants du type :

avec

Si les conditions initiales sont nulles ( ), la fonction de transfert sous forme canonique s'écrit :

Réponse indicielle

L'entrée est définie par un échelon d'amplitude :

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

La réponse temporelle s'écrit alors :

  • Valeur finale : ordonnée en  :

s(+\infty)= \underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \, s(t) =\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.S(p)}_{\text{Théorème de la valeur finale}}=\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.\frac K {1+\tau.p}. \frac{E_0}p=K.E_0

  • Pente à l'origine :

s'(0^+)= \underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow 0^+ } \, s'(t) =\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p.\overbrace{\left[p.S(p)\right]}^{\text{Transformée de la dérivée}}}_{\text{Théorème de la valeur initiale}}=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p^2.\frac K {1+\tau.p}. \frac{E_0}p=\frac{K.E_0}\tau

  • Temps de réponse à 5%, :

On cherche tel que :

s(t_{5\%} )=0,95.s(+\infty)=0,95.K.E_0

Soit :

\begin{eqnarray*} &K.E_0.\left( 1-\text e^{-\frac{t_{5\%}}\tau} \right)=0,95.K.E_0 \Rightarrow e^{-\frac{t_{5\%}}\tau} =0,05\\ &\Rightarrow\boxed{t_{5\%}=-\ln(0,05).\tau\approx 3\tau} \end{eqnarray*}

  • Réponse à :

s(\tau)=K.E_0.\left(1-\text e^{-1}\right)=0,63.K.E_0

  • Erreur statique:

\varepsilon_S= \varepsilon(+\infty)= \lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \left[ \, e(t)-s(t) \, \right] =\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } p.\left[ \, \frac {E_0} p - \frac K {1+\tau.p}.\frac{E_0}p \, \right] =E_0.(1-K)

Réponse impulsionnelle

L'entrée est définie par une impulsion de Dirac :

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

La réponse temporelle s'écrit :

Réponse à une rampe

L'entrée est définie par une rampe :

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

La réponse temporelle s'écrit :

  • Valeur finale : ordonnée en  :

s(+\infty)= \underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \, s(t) =\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.S(p)}_{\text{Théorème de la valeur finale}}=\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.\frac K {1+\tau.p}. \frac a {p^2}=+\infty \quad (K>0)

  • Pente à l'origine :

s'(0^+)= \underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow 0^+ } \, s'(t) =\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p.\overbrace{\left[p.S(p)\right]}^{\text{Transformée de la dérivée}}}_{\text{Théorème de la valeur initiale}}=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p^2.\frac K {1+\tau.p}. \frac a {p^2}=0

  • Etude asymptotique en :

Lorsque , le terme . Par conséquent, . L'asymptote a donc pour équation . Elle coupe l'axe des abscisses à et a pour pente :

  • Erreur de trainage:

\varepsilon_v= \varepsilon(+\infty)= \lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \left[ \, e(t)-s(t) \, \right] =\underbrace{\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \left[ \, a.t.(1-K).u(t) \right]}_{\text{dépend de la valeur de K}}+K .a .\tau
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